İşletmenin kökeni 1900 yılında Adıyaman’da doğan ve 1930’lu yılların başında Malatya’ya yerleşen Mehmet Saygı’nın 1942 yılında Akpınar Hanı’nda açtığı ilk lokanta işletmesine dayanmaktadır. 1930’lu yıllara gelindiğinde Malatya’da lokanta olarak kabul edilebilecek tek işletme Kışla (bugünkü Atatürk) Caddesi’nde faaliyet gösteren Şehir Lokantası idi. Bunun dışında kentin ticarî hayatının yoğunlaştığı Akpınar Meydanı ve Mısır Çarşısı civarında yer alan, sadece öğle saatlerinde çalışan ve genellikle köfte (cız-bız) ve cacık servis edilen, çok dar mekanlarda hizmet veren küçük işletmeler (esnaf lokantaları) bulunuyordu. 1940’lı yılların başından itibaren özellikle Doğu ve Güneydoğu illerinden Malatya’ya göç eden bazı ustalar Malatya yemek kültüründe pek bulunmayan kebap türlerini Malatya’ya tanıtmaya başladı. Mehmet Saygı, 1942 yılında açtığı lokantada daha ziyade Adana ve Antep yörelerinde yaygın olan zırh kebabını sundu. 1950’li yıllardan itibaren Bursa döneri de menüye eklendi. İşletme zaman içinde birkaç defa adres değiştirdi.

1962 yılında çocukluğundan beri babasına yardımcı olarak sanatın inceliklerini öğrenen Mehmet Saygı’nın oğlu Mustafa Saygı işleri devraldı. Mustafa Saygı, önce başka bir adreste, daha geniş bir mekanda Asmaaltı Döner-Kebap Salonu’nu; 1966 yılında ise Malatya’nın tanınmış aşçılarından biri olan Zekeriya Bağdatlı ile birlikte İstek Lokantası’nı açtı. Bu ortaklık, 1978 yılına kadar sürdü. Mustafa Saygı 1978 yılından itibaren şehrin sanayi bölgesinde açtığı Öz Sinan Lokantası ile yoluna yalnız başına devam etti.

İşletmenin Hacı Baba Et Lokantası adıyla tekrar şehir merkezine döndüğü 1980’li yıllardan itibaren Mehmet Saygı’nın başlattığı aşçılık sanatı Malatya içinde ve çevresinde markalaşmaya başladı. Akpınar’daki lokanta sadece şehrin değil tüm Türkiye’den siyaset, spor, sanat ve iş dünyasının tanınmış yüzlerinin Malatya’daki uğrak yerlerinden biri haline geldi.

1990’lı yıllara gelindiğinde, Mustafa Saygı’nın oğulları Metin ve Zeki Saygı özellikle işletmecilik açısından babalarına yardımcı olarak işleri üstlenmeye başladılar. Bu yıllardan sonra Mustafa Saygı daha ziyade mutfakta bulundu ve yeni ustalar yetiştirdi. 2000’li yıllardan itibaren üçüncü kuşakla birlikte işletme kurumsallaşmaya ağırlık verdi. 2000 yılında İstanbul’da düzenlenen EMITT Fuarı’na iştirak ederek Malatya Mutfağı adıyla stand açtı, 2001–2004 yılları arasında Almanya’da çeşitli etkinliklere katıldı. 2008 ve 2009 yılında İstanbul’da açılan iki şube 2013 yılına kadar faaliyet gösterdi.

Mustafa Saygı (Hacı Baba), 1980’li yıllardan itibaren Malatya’nın yöresel yemeklerini yaşatma kaygısıyla menüsündeki çeşitleri sınırlama yoluna gitti. Bu bağlamda Malatya’nın geleneksel etli tava yemekleri olan kaburga dolması, kağıt kebabı, domatesli ve patlıcanlı tava, gereli kebabı ve kavurmaya menüsünde yer verdi. İşletmede yemekler özel olarak imal edilmiş bakır kazanlarda, sadece meşe odunu ateşinde, tereyağı, kuyrukyağı ve zeytinyağı dışında hiçbir endüstriyel nebati yağ kullanmadan, işletmenin kendi çiftliğinde yetiştirilen hayvanların etleri kullanılarak hazırlanmaktadır. Günümüzde üçüncü ve dördüncü kuşak bir arada, iki yan işletme ile birlikte üç farklı mekanda 80 yıla yaklaşan bir tecrübe ile bir aile işletmesi olarak hizmet vermektedir.